2023-2024 навчальний рік
Вчитель математики: Шеремет Валентина Григорівна
МАТЕМАТИКА ДУЖЕ СКЛАДНА ,АЛЕ ЦІКАВА НАУКА. БУДУ РАДА ДОПОМОГТИ ВАМ ЗАЦІКАВИТИСЯ ВИВЧЕННЯМ МАТЕМАТИКИ,ЗРОЗУМІТИ ЇЇ КРАСУ,ТА З ЛЕГКІСТЮ ПОДОЛАТИ УСІ ТРУДНОЩІ НА ШЛЯХУ ДО МАТЕМАТИЧНИХ НАУК.
Способи розв'язування рівнянь:
Завдання:
Завдання:
б) побудуйте графік( прокоментуйте послідовність побудови)
Операції над множинами
Над множинами можна виконувати певні операції. Розглянемо три з них.
Озн Перетином множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать кожній із даних множин.
Позначаємо це так: А 
В = С .
Приклад 1.
Нехай А - множина всіх дільників числа 32, В - множина всіх дільників числа 24. Отже,
А = {1, 2, 4, 6, 8, 16, 32}, В= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Тоді С = А В, С = {1, 2, 4, 8}.
Озн Об'єднанням або сумою двох множин А і В називається така множина R, яка складається з усіх елементів множин А і В і лише з них.
Позначаємо це так: 
.
Кожний зі спільних елементів береться в множину R лише один раз.
Приклад 2.
Для множин А і В з прикладу 1 об'єднанням буде 
.
Приклад 3.
Множина дійсних чисел є об'єднанням множин раціональних та ірраціональних чисел: 
.
Озн Різницею двох множин А і В називається така множина D, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать множині В.
Записуємо D = А\В.
Приклад 4. А = {5, 6, 8, 12}, В = {5, 6}, D = А\В = {8, 12}.
Приклад 5. А = {5, 6}, В = {5, 12, 6}, D = А\В = 
.
Коли множина В є підмножиною множини A ( B 
A ), то різниця D = А\В називається доповненням множини В відносно множини А і позначається 
.
Приклад 6. А = {2, 4, 5}, В = {2, 4}, = {5}.
Відео уроки з теми
Поняття множини належить до первісних, воно не означається. Множина - це сукупність, зібрання деяких предметів будь-якої природи, наприклад: множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації, множина букв українського алфавіту, множина міст держави, множина будинків на вулиці тощо.
Для позначення множин використовуються прописні літери латинського алфавіту або фігурні дужки: множина А або {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Озн 1. Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами.
Наприклад, а = 5 - елемент множини цифр десяткової нумерації;
Львів - елемент множини міст України.
Якщо множину цифр десяткової нумерації позначити через А, то належність числа цій множині можна позначити так: 5 
А, 9 А.
Число 12 не належить множині А, не є елементом цієї множини. Це твердження можна записати так: 12 
А.
Множини бувають скінченні (множина будинків на певній вулиці) і нескінченні (множина точок прямої).
Озн 2. Множина, у якій немає жодного елемента, називається порожньою. Позначається .
Наприклад, множина розв'язків рівняння 
на множині дійсних чисел є порожньою, х .
Множину можна задати:
1. переліченням усіх її елементів, наприклад {а, b, с} ;
2. характеристичною властивістю, наприклад, В - множина чисел, кратних 15, що менші від 90.
Озн 3. Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з однакових елементів.
Наприклад, X - множина коренів рівняння 
;
Y- множина коренів рівняння 
.
Х = Y.
Озн 4. Якщо множина В складається з деяких елементів даної множини А і лише з них, то множина В називається підмножиною множини А.
Позначаємо це так: В А.
Наприклад, якщо В = {1, 2, 3}, А = {1, 2, 3, 4}, то В А.
Множина В може складатися з усіх елементів множини А, тоді це можна записати так: В 
А.
- знак строгого включення,
- знак нестрогого включення.
Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.
Операції над множинами
Над множинами можна виконувати певні операції. Розглянемо три з них.
Озн 5. Перетином множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать кожній із даних множин.
Позначаємо це так: А В = С .
Приклад 1.
Нехай А - множина всіх дільників числа 32, В - множина всіх дільників числа 24. Отже,
А = {1, 2, 4, 6, 8, 16, 32}, В= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Тоді
С = А В, С = {1, 2, 4, 8}.
Озн 6. Об'єднанням або сумою двох множин А і В називається така множина R, яка складається з усіх елементів множин А і В і лише з них.
Позначаємо це так: .
Кожний зі спільних елементів береться в множину R лише один раз.
Приклад 2.
Для множин А і В з прикладу 1 об'єднанням буде
.
Приклад 3.
Множина дійсних чисел є об'єднанням множин раціональних та ірраціональних чисел:
.
Озн 7. Різницею двох множин А і В називається така множина D, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать множині В.
Записуємо D = А\В.
Приклад 4.
А = {5, 6, 8, 12}, В = {5, 6}, D = А\В = {8, 12}.
Приклад 5.
А = {5, 6}, В = {5, 12, 6}, D = А\В = .
Коли множина В є підмножиною множини A ( B A ), то різниця D = А\В називається доповненням множини В відносно множини А і позначається .
Приклад 6.
А = {2, 4, 5}, В = {2, 4}, = {5}.
Відео уроки з теми
Приклад 8. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки
Якщо доводиться знаходити спільні розв'язки двох або більшої кількості нерівностей з однією і тією самою змінною, то кажуть, що ці нерівності утворюють систему нерівностей. Систему нерівностей позначають фігурною дужкою:
Розв'язок системи нерівностей – це значення змінної, яке задовольняє кожну нерівність системи. Розв'язати систему нерівностей – означає знайти всі її розв'язки або показати, що вона їх немає.
|
Приклад 1. Розв'яжемо систему нерівностей
Розв'язок кожної з нерівностей системи є числовим проміжком, відповідно (3; +∞) і (-2; +∞).
Запис (3; +∞) (-2; +∞) означає переріз, тобто спільну частину даних проміжків. 
Розв'язком нерівності є проміжок (3; +∞).
Приклад 2. Розв'язати систему нерівностей
Розв'язання:
або 
З рисунка видно, що розв'язком системи є х≤1, тобто х(-∞; 1]
Приклад 3. Розв'язати систему нерівностей
Розв'язання:
Очевидно, що числові проміжки (-∞; 5) і (6; ∞) не мають жодного спільного числа. Тому система нерівностей не має розв'язку.
У такому випадку кажуть, що переріз даних числових проміжків – порожня множина, яку позначають знаком .
Системи рівнянь
|
- Повторимо для початку , як розв’язувати дані системи графічним способом і способом підстановки Якщо треба знайти спільний розв’язок двох рівнянь із двома змінними, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь. Позначення: 2. Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, при яких кожне рівняння перетворюється на правильну числову рівність. Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає. II. Розв’язування систем лінійних рівнянь. 1) Спосіб підстановки. 2) Спосіб додавання. 3)Графічний спосіб 3. Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь із двома змінними, можна скористатися графіками рівнянь. Такий спосіб називається графічним способом розв’язування систем рівнянь. ЩЩоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба: 1. виконати рівносильні перетворення системи так, щоб було зручно побудувати гргафіки рівнянь системи; 2. побудувати графіки; 3. знайти координати точок (точки) перетину побудованих ліній. Ці координати і є рррозв’язками (розв’язком) системи рівнянь. Приклад. Розв’яжіть графічно систему рівнянь
M(1;2) — точка перетину графіків рівнянь (рис. 1).
Рис. 1 Алгоритм! 1. Побудуємо графіки рівнянь системи в одній координатній площині. 2. Знайдемо координати точки перетину графіків рівнянь. 3. Якщо координати точки перетину цілі числа, то треба виконати перевірку, якщо ні, то дати приблизну відповідь. Отже, графіком кожного рівняння системи лінійних рівнянь із двома змінними є пряма. Якщо прямі перетинаються, то система має єдиний розв’язок; якщо прямі не перетинаються, то система не має розв’язків; якщо прямі збігаються, то система має безліч розв’язків. ЗаЗауваження. Графічний спосіб розв’язування систем рівнянь не є універсальним, оскільки нене завжди розв’язком системи є пара цілих чисел. Іноді важко точно встановити кокоординати точки перетину побудованих графіків функцій, можливо лише вказати нанайближенні значення. Тому, як правило, використовують алгебрагічні способи ророзв’язування систем рівнянь: спосіб підстановки, додавання. СпСособом підстановки систему двох рівнянь із двома змінними розв’язують за таким порядком: 1. з одного рівняння системи виражаємо одну зі змінних через другу змінну і відомі величини; 2. знайдене значення підставляємо в друге рівняння системи, одержуємо рівняння відносно другої змінної; 3. розв’язуємо одержане рівняння і знаходимо значення цієї змінної; 4. підставляючи знайдене значення у вираз для першої змінної, одержуємо відповідне її значення; 5. записуємо відповідь. Спосіб підстановки:
Спосіб додавання:
| ||||||||||||||
|
||||||||||||||
1. Схема розв’язування нерівності методом інтервалів :
1. Привести нерівність до такого виду, де в лівій частині знаходиться функція,
а в правій 0.
2. Знайти область визначення функції.
3. Знайти нулі функції, тобто - вирішити рівняння, х1 = m, x2 = n.
4. На числову пряму нанесемо область визначення функції і за допомогою нулів розіб’ємо її (область визначення) на інтервали.
5. Визначити знаки функції на отриманих інтервалах.
6. Вибрати інтервали, де функція набуває необхідних значень і записати відповідь.
2. Застосування методу інтервалів на прикладах.
Розв’яжемо нерівність (х + 2)(х - 3)(х - 5) >0.
2.Область визначення функції — множина дійсних чисел.
3.Нулі функції: х1=-2, х2=3, х3=5.
4.Нулі розбивають область визначення на чотири проміжки: ( -
5. Позначимо на координатній прямій нулі функції та її знаки на кожному з проміжків.
6. Виберемо проміжки в залежності від знаку нерівності.
7.Відповідь: (-2; 3) (5; +
!!! На кожному з проміжків функція зберігає знак, а після переходу через нулі її знак змінюється(непарка кратність), не змінюється ( парна кратність).
У такий спосіб можна знайти знаки функції виду
f(x) = (х – х1)(х – х2)(х – х3)…(х - хn)
Передивіться відео урок
Комментариев нет:
Отправить комментарий